معادله شرودینگر (جلسه نوزدهم)

معادله شرودینگر

معادلهٔ شرودینگر ، معادله‌ای است که چگونگی تغییر حالت کوانتومی یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می‌کند. این معادله در اواخر سال ۱۹۲۵ فرمول بندی شد و در سال ۱۹۲۶ توسط فیزیکدان اتریشی اِروین شرودینگر منتشر شد.

حال که با این دانشمند آشنا شدید، به سراغ معادله‌ای می‌رویم که رفتار موجی ذرات را توصیف می‌کند. به هر ذره با تکانه ، موجی با طولی موج  نسبت داده میشود. موج مذکور به موج مادی یا «امواج ذرات» معروف است. اروین شرودینگر معادله‌ای را بر اساس قضیه طول موج دوبروی توسعه داد که موج وابسته به ذرات و چگونگی تغییر حالت سیستم‌های کوانتومی را توصیف می‌کند.

موج سینوسی دیجی دارو
طول موج

بررسی معادله شرودینگر

از مکانیک کلاسیک می‌دانیم که در بررسی حرکت ذره ابتدا معادله حرکت آن ذره را پیدا می‌کنند و بر اساس آن در مورد چگونگی حرکت بحث می‌کنند. می‌دانیم که در مکانیک کوانتومی ‌، بر اساس نظریه دوبروی در مورد ذرات دو دیدگاه موجی و ذره‌ای در نظر گرفته می‌شود و اصل مکملی نور مانع از این می‌شود که این دو تصویر را به صورت همزمان بکار ببریم. ولی برای توصیف کامل حرکت ، هر دو دیدگاه باید در نظر گرفته شوند. بر این اساس معادله‌ای که به حرکت این ذرات کوانتومی‌ حاکم است، معادله شرودینگر نامیده می‌شود.

حرکت ذره آزاد

معمولا ساده‌ترین حالت در مکانیک کوانتومی‌ حرکت یک ذره آزاد است. لفظ آزاد به این لحاظ بکار می‌رود که این ذره تحت تاثیر هیچ پتانسیلی قرار ندارد. در این صورت معادله شرودینگر در مورد حرکت ذره مورد نظر ، با این فرض که حرکت در یک بعد صورت می‌گیرد، به صورت زیر خواهد بود:

در رابطه فوق m جرم ذره ،  ثابت پلانک ،  تابع موجی است که در تشریح دیدگاه موجی ، به ذره مورد نظر نسبت داده می‌شود. همچنین i یک واحد موهومی ‌است که مجذور آن برابر (1-) می‌باشد (عدد مختلط). در این رابطه نماد  بیانگر مشتق نسبی نسبت به زمان و  نشانگر مشتق نسبی نسبت به مکان است.

خصوصیات

  • معادله شرودینگر نسبت به مشتق زمان از مرتبه اول است. این امر ایجاب می‌کند که وقتی مقدار اولیه تابع موج منتسب به ذره ، به عنوان مثال در لحظه t=0 معلوم باشد، مقدار آن را در هر لحظه دیگر نیز بتوان پیدا کرد. این مطلب از شکل این معادله ، یا از شکل عمومی‌ترین جواب این معادله ، که یک رابطه انتگرالی است، مشهود است.

  • نکته دیگر این است که در معادله شرودینگر هیچ عدم قطعیتی وجود ندارد. به بیان دیگر ، همین که حالت اولیه تابع موج مشخص شد، در این صورت در هر زمان دیگری ، آن تابع موج کاملا مشخص می‌گردد. دلیل این مطلب در اینجاست که هیچ محدودیتی بر روی تابع موج حالت اولیه وجود ندارد.

حالت کلی

در مطالب قبلی معادله شرودینگر را در حالت ساده ذره آزاد و در مورد حرکت یک بعدی بیان کردیم. در صورتی که ذره مورد نظر آزاد نباشد، در این صورت تحت تاثیر پتانسیلی مانند قرار خواهد داشت که در حالت تک بعدی پتانسیل را با  و در حالت سه بعدی با  نشان می‌دهیم و چون بیشتر پتانسیل‌های مهم ، تقارن کروی دارند، لذا بهتر است که بحث را در مختصات کروی انجام دهیم. در این صورت پتانسیل به صورت  خواهد بود. برای بیان معادله شرودینگر در حالت عمومی ‌و در فضای سه بعدی ، تغییرات زیر را در معادله شرودینگر ذره آزاد اعمال می‌کنیم:

  • تابع موج مربوط به ذره را با نمایش می‌دهیم.
  • مشتق نسبت به مکان را در حالت سه بعدی با نماد \nabla که دل نامیده می‌شود، نشان می‌دهیم.
  • چون ذره آزاد نبوده و تحت تاثیر پتانسیل  قرار دارد، لذا یک جمله به صورت  به معادله اضافه می‌کنیم. بنابراین معادله شرودینگر در حالت کلی به صورت زیر در می‌آید:

کاربرد

مطالب فوق جهت اطلاعات رسانی به شما درج شده است. برای درک بیشتر و آموزش کافی از مفهوم این بخش به تماشای ویدئوی زیر بنشینید و در پایان هرگونه سوال و مطلبی برای بیان داشتید، در پایین پیج ذکر کنید. در اسرع وقت به سوالات شما پاسخ داده خواهد شد.

دیدگاهتان را بنویسید